Tag Archives: Líkindadreifingar

Eitt, tvö eða þrjú vasaljós?

Það komst í fréttirnar í vikunni þegar þremur konum var bjargað úr helli. Í viðtali við Reykjavík síðdegis á Bylgjunni af því tilefni sagði Árni B. Stefánsson, augnlæknir og landskunnur hellakönnuður:

Það er regla hjá hellamönnum að fara aldrei í helli nema með þrjú ljós með sér. ... Af því að aðalljósið gæti klikkað og varaljósið gæti klikkað. En það er mjög ólíklegt að þriðja ljósið fari líka. Það er bara líkindareikningur.

Í framhaldinu ræddu útvarspmennirnir svo um búnað, aðstæður í hellaferðum og hverju fljótt göngumenn þreytast í hellum svo eitthvað sé nefnt. Spurningunni um það til hve mikilla bóta það er að bera aukaljós með sér er enn ósvarað.

Uppbygging og áreiðanleiki kerfa

Raðtengt kerfi með tveimur kerfishlutum.

Raðtengt kerfi með tveimur kerfishlutum.

Í greiningu á áreiðanleika þarf að skoða hvern hluta kerfis og uppbyggingu þess. Með raðtengingu kerfishluta er átt við að kerfið virki ef og aðeins ef allir hlutar þess virka. Kerfið á myndinni til hægri er sett saman úr tveimur kerfishlutum, A og B. Það mun aðeins virka á meðan báðir hlutar þess eru í lagi. Þegar annað hvort A eða B bilar þá stoppar kerfið.

Ef við lýsum líftíma hvors hvors kerfishluta um sig með slembibreytunum  og þá er líftími alls kerfisins jafn þeim hluta sem endist skemur, .

Samsíða kerfi með tveimur kerfishlutum.

Samsíða kerfi með tveimur kerfishlutum.

Það er talað um hliðtengt kerfi ef það virkar á meðan einhver hluti þess virkar. Kerfið á myndinni til vinstri er einnig sett samsett úr tveimur hlutum, A og B. Þessari framsetningu er ætlað að tákna að kerfið mun virka á meðan annar hvor hluti þess virkar. Þegar báðir hafa bilað þá hættir kerfið að virka.

Eins og í fyrra dæminu er líftíma hlutanna lýst með slembibreytunum  og . Í hliðtengdu kerfi er líftími kerfisins jafn líftíma þess hluta sem dugir lengst, .

Kerfi með varakerfi.

Kerfi með varakerfi.

Þriðja uppsetningin lýsir kerfi, sem notar A sem aðalkerfi og B er til vara. Í einfaldaðri uppsetningu gerum við ráð fyrir að varakerfið bili ekki á meðan aðalkerfið er í gangi. Táknmyndunum er ætlað að lýsa því að þegar aðalkerfið bilar mun varakerfið taka yfir. Þegar varakerfið bilar þá stoppar kerfið.

Líftími alls kerfisins er jafn summu líftíma hvors hluta um sig, .

Hve mörg vasaljós?

Þrjú hliðtengd vasaljós.

Þrjú hliðtengd vasaljós.

Gerum ráð fyrir að vasaljós hafi eina rafhlöðu og eina ljósaperu, sem við táknum með bókstöfunum R og L í raðtengdu kerfi. Bæði rafhlaðan og ljósaperan þurfa að vera í lagi svo að vasaljósið lýsi. Gerum svo ráð fyrir að hellakönnuðirnir noti þrjú vasaljós í tveimur ólíkum uppsetningum.

Ef þrír hellakönnuðir nota hver sitt vasaljós getum við táknað kerfið eins og sýnt er á bláu myndinni til vinstri. Við gerum ráð fyrir því að ef ljós eins hellakönnuðar bilar þá sé hann studdur áfram af öðrum í hópnum. Svo lengi sem a.m.k. eitt ljós er í lagi geta hellakönnuðirnir haldið för sinni áfram. Köllum þetta kerfi 1.

Eitt aðalljós og tvö varaljós.

Eitt aðalljós og tvö varaljós.

Ef hellakönnuðir nota eitt aðalljós en bera tvö önnur með sér til vara þá getum við táknað kerfið eins og sýnt er á grænu myndinni hérna til hægri. Þegar aðalljósið bilar er gripið til fyrra varaljóssins. Þegar þegar það bilar er seinna varaljósið notað. Þetta er kerfi 2.

Líftími metinn með hermun

Til þess að meta ábatann af því að fjölga vasaljósum notum hermum við mögulegar útkomur og skoðum dreifingarnar. Gerum ráð fyrir að líftími rafhlaða lúti normaldreifingu með meðaltal 5 klukkustundir og staðalfrávik hálfa klukkustund. Látum líftíma ljósapera lúta veldisdreifingu með meðaltal 10 klukkustundir.

Uppsafnaðar líkur líftíma fyrir þrjú kerfi.

Uppsafnaðar líkur líftíma fyrir þrjú kerfi.

Niðurstöður hermunar sýna að eitt vasaljós dugir að meðaltali í 3,9 klst. og þrjú hliðtengd vasaljós í kerfi 1 að meðaltali í 5,1 klst. Líftími kerfis 2 með eitt aðalljós og tvö til vara dugar er að meðaltali í 11,8 klst. Það er u.þ.b. þrefaldur líftími þegar aðeins eitt ljós er notað.

Sér í lagi höfum við áhuga á lágum útkomum af því að það kemur göngumönnum í koll þegar ljósin bila. Í 5% prósent tilfella er líftími eins vasaljóss styttri en hálf klukkustund. Líftími kerfis nr. 1 er í 5% tilfella styttri en 4,1 klst. og 6,5 klst. með kerfi 2.

Áhætta í Yahtzee

Samkvæmt grein Wikipedia er velgengni í teningaspilinu Yathzee háð leikni eða hæfileikum á þremur sviðum; heppni, kunnáttu í líkindaaðferðum og herkænsku. Ekki er öllum gefið að verða heppnari, ef heppni getur talist til hæfileika á annað borð. En taki menn leikinn alvarlega er mikilvægt að hafa leikáætlun og gott að byggja hana líkindum. Það er gott að hafa það í huga núna í upphafi sumars vilji menn slá vinum og ættingjum ref fyrir rass í sumarbústöðum og á mannamótum á næstunni.

Leikurinn þarfnast ekki útskýringar. Í klassískri útfærslu eru umferðirnar spilaðar í beinni röð og þá ljúka leikmenn næsta lið á leikspjaldinu í hverri umferð. Í öðrum útfærslum er leyfilegt að velja eftir hverja umferð inn á hvaða lið stigum er ráðstafað. Umferðin Áhætta er næst síðasti liðurinn á leikspjaldinu og þar keppast leikmenn við að hámarka stigin sín í þremur köstum. Eftir fyrsta og annað kastið velur leikmaður hvaða teningum hann vill halda en öðrum er kastað aftur. En hvaða tölum á að halda?

Líkindaþéttifall hæstu úkoma í einu, tveimur og þremur köstum.

Líkindaþéttifall hæstu úkoma í einu, tveimur og þremur köstum.

Myndin hér til hægri sýnir líkindaþéttifall hæstu útkomu þegar teningi er kastað. Rauðu súlurnar tákna líkindi á útkomu í einu kasti. Með fullkomnum teningi eru líkur á sérhverri útkomu jafnar, þ.e. 1/6 eða 0.16667. Líkurnar má einnig tákna í prósentum sem 16,667%.

Þegar teningi er kastað tvisvar sinnum og hærri útkoman er valin aukast líkur á háum útkomum. Grænu súlurnar tákna líkur  á hæstu útkomu þegar teningi er kastað tvisvar. Líkurnar á að hærri úkoman í tveimur köstum sé sex er . Líkurnar á að hærri útkoman í tveimur köstum sé jöfn einum er . Til þess þurfum við að fá ás í báðum köstum.

Á sama hátt er hægt að reikna líkur á hæstu útkomu í þremur köstum, sem táknaðar eru með bláu súlunum. Líkurnar á því að hæsta úkoman í þremur köstum sé sex er 0,42130. Líkurnar á að fá ás í öllum köstum og að hæsta útkoman sé þar með einn eru 0,00463.

Halda eða kasta?

Þá kemur aftur að leikáætluninni sem var nefnd í upphafi. Hvaða teningum ætti að halda eftir fyrsta kastið? Gildir öðru eftir annað kastið?

Væntigildi útkoma í hverju kasti er reiknað sem meðaltal mögulegra útkoma. Áður en tengingunum er kastað í fyrstu umferð er væntigildi útkomu fyrir sérhvern tening

.

Eftir fyrsta kastið eru tvær umferðir eftir og væntigildi útkomu fyrir sérhvern tening er reiknað á sama hátt og áður

.

Þegar eitt kast er eftir eru jafnar líkur á öllum hliðum og væntigildið er því

.

Niðurstaða

Nú er leikáætlunin valin þannig að væntigildi sé hámarkað í hverri umferð. Niðurstaðan er að eftir fyrstu umferðina ætti leikmaður að halda fimmum og sexum vegna þess að þær eru hærri en 4,4722, sem er vænt útkoma ef kastað væri aftur. Eftir aðra umferð ætti að halda fjörkum, fimmum og sexum vegna þess að vænt útkoma í þriðja kastinu er 3,5.

Rétt er að nefna að aðstæður hverju sinni kunna að réttlæta aukna áhættusækni. Ef vinna þarf upp naumt forskot keppinautar má setja þröskuldinn ofar, jafnvel þótt að lækki væntigildi mögulegra útkoma í leiknum.

Að hafa ekki öll eggin í sömu körfu

Að hafa ekki öll eggin í sömu körfu er skýrt og skiljanlegt orðtak um þann ásetning að dreifa áhættu svo að lokaútkoma sé ekki háð einum atburði heldur summu margra. Maður sem gengur eftir götu með eggjakörfur í sitthvorri hendinni kann að auka líkurnar á því að fleiri egg komist ósködduð á áfangastað en hefði hann borið þau öll í sömu körfunni. Myndmálið leynir sér ekki.

Höfuðsetning tölfræðinnar (central limit theorem) lýsir stærðfræðilega hvað gerist þegar við berum einstakar útkomur, sem eru háðar tilviljanakenndum atubrðum, saman við summu útkoma fyrir marga atburði.

Líkindaþéttifall veldisdreifiðrar slembibreytu og normaldreifðrar slembibreytu með sama meðaltal og staðalfrávik

Líkindaþéttifall veldisdreifiðrar slembibreytu og normaldreifðrar slembibreytu með sama meðaltal og staðalfrávik

Blái ferillinn á myndinni til hægri lýsir líkindaþéttifalli veldisdreifðrar slembibreytu, sem hefur meðaltal jafnt 1000. Staðalfrávik slembibreytunnar er jafnt meðaltalinu. Til einföldunar gætum við látið veldisdreifinguna lýsa fjártjóni, sem hlýst af einum tilteknum atburði.

Rauða línan, sem vart má greina yst til hægri, sýnir mörk 95% vágildis (Value-at-Risk, VaR). Það er 2996 og samkvæmt skilgreiningu eru 95 af hverjum 100 tjónum eru undir mörkunum en fimm eru yfir. Hali dreifingarinnar er ekki sýndur en hann teygir sig út í óendanlegt.

Til hliðsjónar er einnig teiknað líkindaþéttifall normaldreifðrar slembibreytu með sama meðaltal og staðalfrávik.  Við getum greint toppinn á bjöllulaga forminu, sem oft er kennt við þýska stærðfræðinginn Fredrich Gauss. Halar normaldreifða líkindaþéttifallsins eru utan við bilið, sem myndin spannar.

Líkindaþéttifall meðaltals fimm veldisdreifinga

Líkindaþéttifall meðaltals fimm veldisdreifinga (Gamma-dreifingar).

Nú ákveða fimm einstaklingar að deila fjártjóni vegna jafn margra óháðra atburða. Útkomu sérhvers tjóns er lýst með sömu dreifingu og áður. Væntur hlutur sérhvers fimmmenningana í heildartjóninu er eftir sem áður jafn meðaltali hvers fjártjóns en halar dreifingarinnar hafa dregist saman.  Líkur á háum útkomum fyrir sérhvern þeirra hefur lækkað og 95% vágildi dreifingarinn er nú um 1830.

Líkindaþéttifallið á myndinni til vinstri lýsir meðaltali fimm veldisdreifinga. Dreifingar með þessari lögun nefnast Gamma-dreifingar. Þá má líka greina að blái ferillinn hefur nálgast líkindaþéttifall normaldreifðu slembibreytunnar, sem lýst er með brotastrikinu. Samkvæmt höfuðsetningu tölfræðinnar stefnir meðaltalið á að vera normaldreifing þegar fjöldi fjártjóna stefnir á óendanlegt.

Meðaltal fjörutíu veldisdreifðra slembibreyta.

Meðaltal fjörutíu veldisdreifðra slembibreyta.

Allt í veröldinni er af endanlegum fjölda og ekki þarf að leggja saman útkomur óendanlega margra atburða til þess að útkoman verði nálægt því að vera normaldreifð.

Myndin hérna til hægri lýsir samsavarandi dreififalli fyrir meðaltal fjörutíu dreifinga. Hérna liggur ferillinn nánast saman við líkindadreififall normaldreifðu slembibreytunnar. Vert er að geta þess að mörk 5% hæstu mögulegra útkoma hefur enn lækkað.

Hreyfimyndin hér á eftir lýsir líkindadreififalli fyrir meðaltal slembibreyta með breyilegum fjölda. Í upphafi er líkindaþéttifallið eins og fyrsta myndin hér að ofan. Eftir því sem atburðum fjölgar þá þokast meðalútkoman nær normaldreifingunni. Líkur á háum útkomum minnka eftir því sem halar dreifingarinnar dragast saman.