Tag Archives: Poisson

Poisson líkindadreifingin

Í fyrri færslu um líkindadreifingar var fjallað um stakrænar og samfelldar dreifingar. Þar var rakið að í tjónalíkönum má nota stakrænar dreifingar til þess að tákna tíðni tjóna en samfelldar dreifingar til að tákna stærðargráðu hvers tjóns. Útkomur stakrænna dreifinga eru heilar tölur, þ.e. 0, 1, 2, 3, o.s.frv. en útkomur samfelldra dreifinga allar rauntölur. Fyrir tjónalíkön takmörkum við valið við samfelldar dreifingar með útkomur stærri en núll.

Stikar líkindadreifinganna lýsa stærð og lögun líkindadreifi- og líkindaþéttifallanna. Þá sýnir yfirlitið, sem fylgdi í fyrri færslu, ýmsar gagnlegar stærðir hverrar dreifingar, t.d. væntigildi og staðalfrávik. Væntigildi líkindadreifingarinnar lýsir meðalútkomu og staðalfrávik er mælikvarði á frávik frá meðalútkomunni.

Dæmi um stakræna líkindadreifingu er Poisson dreifingin, sem notar stikann (gríska bókstafinn lambda). Stikinn lýsir hvort tveggja meðaltali og ferviki (staðalfráviki í öðru veldi) Poisson dreifingarinnar. Útkomurnar eru heilar tölur stærri en eða jafnar núlli og má nota til þess að tákna fjölda atburða á sérhverju tímabili.  Samkvæmt líkindafallinu eru líkur á k atburðum jafnar

.

Þ.e.a.s. líkurnar á útkomunni núll og þar með engum atburði eru , líkur á einum atburði eru , líkur á tveimur atburðum eru , líkur á þremur atburðum eru , o.s.frv. Mynstrið er þekkt.

Líkindafall Poisson dreifinga

Líkindafall Poisson dreifinga

Hugsum okkur dæmi um tryggingafélag, sem flokkar ökumenn þrjá áhættuflokka: lægstamiðlungs og hæsta. Félagið notar Poisson líkindadreifinguna til þess að tákna tjónatíðni þeirra. Það hefur fundið út að viðskiptavinir í lægsta áhættuflokki valdi að jafnaði 0,1 tjóni á ári pr. ökumann en 0,4 tjón á ári pr. ökumann í miðlungs áhættuflokki og 0,7 tjón að jafnaði í þeim hæsta. Með því að setja stuðlana inn í jöfnurnar fyrir ofan má finna líkindi á fjölda tjóna, sem ökumaður í hverjum flokki veldur. Niðurstaðan er sýnd í meðfylgjandi töflu og líkindafallið er sýnt á myndinni til hægri.

 Fjöldi Áhættuflokkur
tjóna Lægsti,  Miðlungs,  Hæsti, 
0 0.905 0.670 0.497
1 0.090 0.268 0.348
2 0.005 0.054 0.122
3 <0.001 0.007 0.028

 

Safn líkindadreifinga

Meðfylgjandi er að finna yfirlit yfir nokkrar gagnlegar líkindadreifingar, sem nota má í tjónalíkönum.  Meira verður fjallað um líkindadreifingar síðar en þær skiptast í tvo hópa; stakrænar og samfelldar en þær geta einnig verið blanda af hvoru.  Í skjalinu má finna margar gagnlegar stærðir sem lýsa dreifingunum, s.s. meðaltal, og fervik.  Þá fylgir listi yfir föll í forritunarmálinu R sem nota má til þess að herma sýni af sérhverri dreifingu.

Líkindaþéttifall Poisson dreifingarinnarSýni stakrænna líkindadreifinga geta aðeins verið heilar tölur og þær má nota til að tákna tíðni atvika, s.s. fjölda árekstra sem ökumaður lendir í á einu ári o.s.frv.  Dæmi um stakræna líkindadreifingu er Poisson dreifingin og líkindaþéttifall (líkindafall) dreifingarinnar er sýnt hér til hægri.  Stærð hverrar súlu táknar líkur á tilsvarandi útkomu.

Líkindaþéttifall lognormal dreifingarinnarSamfelldar líkindadreifingar geta tekið tekið óendanlega mörg gildi á bilinu, sem myndmengi þeirra spannar.  Í tjónum er skaðinn alltaf stærri en núll, líkt og líkja má eftir með lognormal líkindadreifingunni hérna til vinstri.  Hægt er að reikna líkur þess að útkoman sé á tilteknu bili með því að reikna flatarmálið undir ferlinum innan þess svæðis sem við á.

 

English summary: Attached is a list of frequently used probability distributions in loss models.