Tag Archives: Tjónalíkön

Að hafa ekki öll eggin í sömu körfu

Að hafa ekki öll eggin í sömu körfu er skýrt og skiljanlegt orðtak um þann ásetning að dreifa áhættu svo að lokaútkoma sé ekki háð einum atburði heldur summu margra. Maður sem gengur eftir götu með eggjakörfur í sitthvorri hendinni kann að auka líkurnar á því að fleiri egg komist ósködduð á áfangastað en hefði hann borið þau öll í sömu körfunni. Myndmálið leynir sér ekki.

Höfuðsetning tölfræðinnar (central limit theorem) lýsir stærðfræðilega hvað gerist þegar við berum einstakar útkomur, sem eru háðar tilviljanakenndum atubrðum, saman við summu útkoma fyrir marga atburði.

Líkindaþéttifall veldisdreifiðrar slembibreytu og normaldreifðrar slembibreytu með sama meðaltal og staðalfrávik

Líkindaþéttifall veldisdreifiðrar slembibreytu og normaldreifðrar slembibreytu með sama meðaltal og staðalfrávik

Blái ferillinn á myndinni til hægri lýsir líkindaþéttifalli veldisdreifðrar slembibreytu, sem hefur meðaltal jafnt 1000. Staðalfrávik slembibreytunnar er jafnt meðaltalinu. Til einföldunar gætum við látið veldisdreifinguna lýsa fjártjóni, sem hlýst af einum tilteknum atburði.

Rauða línan, sem vart má greina yst til hægri, sýnir mörk 95% vágildis (Value-at-Risk, VaR). Það er 2996 og samkvæmt skilgreiningu eru 95 af hverjum 100 tjónum eru undir mörkunum en fimm eru yfir. Hali dreifingarinnar er ekki sýndur en hann teygir sig út í óendanlegt.

Til hliðsjónar er einnig teiknað líkindaþéttifall normaldreifðrar slembibreytu með sama meðaltal og staðalfrávik.  Við getum greint toppinn á bjöllulaga forminu, sem oft er kennt við þýska stærðfræðinginn Fredrich Gauss. Halar normaldreifða líkindaþéttifallsins eru utan við bilið, sem myndin spannar.

Líkindaþéttifall meðaltals fimm veldisdreifinga

Líkindaþéttifall meðaltals fimm veldisdreifinga (Gamma-dreifingar).

Nú ákveða fimm einstaklingar að deila fjártjóni vegna jafn margra óháðra atburða. Útkomu sérhvers tjóns er lýst með sömu dreifingu og áður. Væntur hlutur sérhvers fimmmenningana í heildartjóninu er eftir sem áður jafn meðaltali hvers fjártjóns en halar dreifingarinnar hafa dregist saman.  Líkur á háum útkomum fyrir sérhvern þeirra hefur lækkað og 95% vágildi dreifingarinn er nú um 1830.

Líkindaþéttifallið á myndinni til vinstri lýsir meðaltali fimm veldisdreifinga. Dreifingar með þessari lögun nefnast Gamma-dreifingar. Þá má líka greina að blái ferillinn hefur nálgast líkindaþéttifall normaldreifðu slembibreytunnar, sem lýst er með brotastrikinu. Samkvæmt höfuðsetningu tölfræðinnar stefnir meðaltalið á að vera normaldreifing þegar fjöldi fjártjóna stefnir á óendanlegt.

Meðaltal fjörutíu veldisdreifðra slembibreyta.

Meðaltal fjörutíu veldisdreifðra slembibreyta.

Allt í veröldinni er af endanlegum fjölda og ekki þarf að leggja saman útkomur óendanlega margra atburða til þess að útkoman verði nálægt því að vera normaldreifð.

Myndin hérna til hægri lýsir samsavarandi dreififalli fyrir meðaltal fjörutíu dreifinga. Hérna liggur ferillinn nánast saman við líkindadreififall normaldreifðu slembibreytunnar. Vert er að geta þess að mörk 5% hæstu mögulegra útkoma hefur enn lækkað.

Hreyfimyndin hér á eftir lýsir líkindadreififalli fyrir meðaltal slembibreyta með breyilegum fjölda. Í upphafi er líkindaþéttifallið eins og fyrsta myndin hér að ofan. Eftir því sem atburðum fjölgar þá þokast meðalútkoman nær normaldreifingunni. Líkur á háum útkomum minnka eftir því sem halar dreifingarinnar dragast saman.

 

Poisson líkindadreifingin

Í fyrri færslu um líkindadreifingar var fjallað um stakrænar og samfelldar dreifingar. Þar var rakið að í tjónalíkönum má nota stakrænar dreifingar til þess að tákna tíðni tjóna en samfelldar dreifingar til að tákna stærðargráðu hvers tjóns. Útkomur stakrænna dreifinga eru heilar tölur, þ.e. 0, 1, 2, 3, o.s.frv. en útkomur samfelldra dreifinga allar rauntölur. Fyrir tjónalíkön takmörkum við valið við samfelldar dreifingar með útkomur stærri en núll.

Stikar líkindadreifinganna lýsa stærð og lögun líkindadreifi- og líkindaþéttifallanna. Þá sýnir yfirlitið, sem fylgdi í fyrri færslu, ýmsar gagnlegar stærðir hverrar dreifingar, t.d. væntigildi og staðalfrávik. Væntigildi líkindadreifingarinnar lýsir meðalútkomu og staðalfrávik er mælikvarði á frávik frá meðalútkomunni.

Dæmi um stakræna líkindadreifingu er Poisson dreifingin, sem notar stikann (gríska bókstafinn lambda). Stikinn lýsir hvort tveggja meðaltali og ferviki (staðalfráviki í öðru veldi) Poisson dreifingarinnar. Útkomurnar eru heilar tölur stærri en eða jafnar núlli og má nota til þess að tákna fjölda atburða á sérhverju tímabili.  Samkvæmt líkindafallinu eru líkur á k atburðum jafnar

.

Þ.e.a.s. líkurnar á útkomunni núll og þar með engum atburði eru , líkur á einum atburði eru , líkur á tveimur atburðum eru , líkur á þremur atburðum eru , o.s.frv. Mynstrið er þekkt.

Líkindafall Poisson dreifinga

Líkindafall Poisson dreifinga

Hugsum okkur dæmi um tryggingafélag, sem flokkar ökumenn þrjá áhættuflokka: lægstamiðlungs og hæsta. Félagið notar Poisson líkindadreifinguna til þess að tákna tjónatíðni þeirra. Það hefur fundið út að viðskiptavinir í lægsta áhættuflokki valdi að jafnaði 0,1 tjóni á ári pr. ökumann en 0,4 tjón á ári pr. ökumann í miðlungs áhættuflokki og 0,7 tjón að jafnaði í þeim hæsta. Með því að setja stuðlana inn í jöfnurnar fyrir ofan má finna líkindi á fjölda tjóna, sem ökumaður í hverjum flokki veldur. Niðurstaðan er sýnd í meðfylgjandi töflu og líkindafallið er sýnt á myndinni til hægri.

 Fjöldi Áhættuflokkur
tjóna Lægsti,  Miðlungs,  Hæsti, 
0 0.905 0.670 0.497
1 0.090 0.268 0.348
2 0.005 0.054 0.122
3 <0.001 0.007 0.028

 

Sýni af normaldreifðu slembibreytunni

Í keppni um athygli bjóða fyrirtæki og aðrir aðilar nýjum vinum að tengjast sér í gegnum samfélagsmiðla og heita gjarnan verðlaunum til að örva aðsóknina. Af gamansemi var lofað að draga út milljón sýni af normaldreifðu slembibreytunni þegar Actuary.is næði því marki að eiga yfir eitthundrað vini á Facebook-síðunni. Það var allgóð aðsókn að vefsíðunni þegar frétta- og bloggvefir bentu á umfjöllun um nettó eigna- og skuldastöðu kynslóðanna fyrr í mánuðinum. Margir gerðust vinir síðunnar með því að smella á Like-hnappinn hér uppi til hægri. Vinir síðunnar eru núna orðnir gott betur en eitthundrað. Þeim, sem hafa komið efninu á framfæri við vini og venslafólk, er þökkuð aðstoðin við útbreiðsluna.

Öllu gamni fylgir nokkur alvara og nú er komið að efndum. Af praktískum ástæðum verða sýnin færri en milljón en í stað þess verður spyrt við umjöllunina hvernig þau eru framkölluð.

Eitt sinn var sögð saga frá árdögum tölvuútreikninga við spágerð í veðurfræði, sem kann að hafa byggt á e-s konar hermun. Það fylgdi sögunni að útreikningarnir hefðu krafist mikils reikniafls og veðrið hefði í reynd verið komið löngu á undan spánni. Með tilkomu aukins reikniafls í einkatölvum og tölvuklösum opnast ótal möguleikar. Margir þekkja möguleika með innbyggðum föllum og viðbótarpökkum í Excel töflureikninum. Þá bjóða forritunarmál eins og R-hugbúnaðurinn upp á öfluga hermunartól, sem eru þjál í notkun.

Hermun er notuð ýmsum viðfangsefnum. Í grunninn gengur hermun á því að búa til reikniverk þar sem inntakið eru óþekktar stærðir, sem við þekkjum betur sem slembibreytur. Óþekktu stærðirnar geta lýst hlutfallsbreytingu á virði verðbréfa á einum degi, fjöldi jarðsjálfta á ákveðnu tímabili eða matsfjárhæð skaða í líkams- eða eignatjóni. Einstakar útkomur slembibreytanna eru óþekktar en upplýsingar um mögulegar útkomur eru þekktar eða áætlaðar. Í þessum dæmum getur útkoman, sem við höfum áhuga á, lýst virði kaupréttar á verðbréf eða væntigildi bóta til þess sem kaupir sér tryggingu fyrir fjárskaða vegna tjóns.

Líkindafall og líkindadreififall fyrir útkomur sex hliða tengings

Líkindafall og líkindadreififall fyrir útkomur sex hliða tengings.

Slembibreytum er lýst með líkinda-, líkindadreifi- og líkindaþéttiföllum. Einfalt dæmi er útkoman þegar sex hliða tengini er kastað. Líkindafallið táknar líkur á hverri og einni útkomu en líkindaþéttifallið táknar líkur þess að útkoman sé minni en eða jafnt og tiltekið gildi. Líkindafall og líkindaþéttifall fyrir útkomur fullkomins sex hliða tenings er sýnt á myndinni til hægri. Útkoma teningsins er dæmi um stakræna slembibreytu. Út úr líkindafallinu á efri myndinni getum við lesið að líkur á hverri og einni útkomu eru 1/6, gjarnan táknað sem 0,1667 eða 16,67%. Af neðri myndinni má lesa líkindi þess að útkoman sé lægri en eða jöfn tölunni á lárétta ásnum.  Þannig eru líkurnar 0,50 eða 50% að útkoman sé lægri en eða jöfn tölunni 3 (þ.e.a.s. að útkoman sé 1, 2 eða 3).

Líkindadreififall og líkindaþéttifall normaldreifingar

Líkindadreififall og líkindaþéttifall normaldreifingar.

Samfelldum slembibreytum er lýst á áþekkan hátt og myndirnar til vinstri sýna líkindadreifi- og líkindaþéttifall normaldreifðu slembibreytunnar með meðaltal núll og einingastaðalfrávik. Til þess að finna líkur þess að útkoma sé að ákveðnu bili má reikna flatarmálið undir ferlinum innan þess bils. Líkur á einni einstakri útkomu eru núll. Að sama skapi sést að líkindadreififall normaldreifðu slembibreytunnar er ekki þreplaga líkt og dreififallið fyrir fullkomna teninginn. Við getum lesið af lóðrétta ás líkindadreififallsins líkur þess útkoma slembibreytunnar sé lægri eða jöfn gildinu á lárétta ásnum.

Notkun líkindadreififallsins er grunnurinn að þeirri hermunaraðferð, sem lagt er upp með hér og nefnist aðferð andhverfrar vörpunar (inverse method). Hana má nota þegar líkindadreififallið er andhverfanlegt. Aðferðin gengur út á að safna fyrst sýnum jafdreifðu slembibreytunnar og varpa þeim síðan yfir dreifinguna, sem sóst er eftir.

Hreyfimyndin hér fyrir neðan sýnir hermun tíu þúsund sýna af normaldreifðu slembibreytunni á myndrænan hátt. Við getum ímyndað okkur að fyrst rigni niður tíu þúsund sýnum, sem eru jafndreifð á bilinu 0 til 1 og við táknum það með bláu punktunum. Næst vörpum við þeim sýnum niður á talnalínu normaldreifingarinnar með því að finna skurðpunkt líkindadreififallsins við láréttra línu frá sérhverju sýni. Frá skurðpunktinum drögum við lóðrétta línu niður á talnalínu normaldreifingarinnar. Eftir vörpunina má sjá að dreifing sýnanna fellur vel að líkindaþéttifalli normaldreifingarinnar.

English summary:

Above you will find brief discussion about probability functions, probability density functions and probability distribution functions for random variables. As an example both probability function and probability distribution function are drawn for perfect dice to represent an arbitrary discrete random variable. As well, you will recognize the probability density function and probability distribution function for the normal random variable as example of frequently used discrete random variable.

The purpose of this post is to simulate ten thousand samples from the normal distribution using the inverse method. In the beginning, ten thousand samples from the uniform distribution are generated using random number generator within the R software package. Samples from the uniform distribution are represented with blue dots in the animated picture above. Each sample is transformed using the inverse of the normal probability distribution function. As the red samples stack up on top of previous samples we can recognize the shape of our imaginary pile of random numbers approximates the bell shaped probability density function for the normal random variable.